背景
最近在做一个基于当前 GPS 坐标，通过输入目标经纬度来计算相对位置与距离的硬件装置。
在查阅相关算法时，我发现网上的推导过程大多较为碎片化或直接给出结论。为了彻底理解其底层的数学逻辑，我决定从零开始重新推导一遍，并将其系统地记录下来。
本文将完整呈现这一推导过程：从建立三维空间直角坐标系开始，利用向量点积导出球面余弦定律（Law of Cosines）。此外，我们还会深入探讨该公式在短距离场景下产生“精度丢失”的物理本质，以及如何利用半角恒等式引入 Haversine 公式 来修正误差。最后，我将分享如何通过数学化简，精简公式降低运算量，从而实现更高的运算效能。
简化模型(平面模型)
我们在高中数学中学习过欧几里得距离公式， 用于计算平面上两点之间的距离. 同样的，当地球表面两点距离相对较近时， 我们可以将这一局部地区视为一个平面， 此时直接使用欧几里得距离公式即可
但是当地球表面两点距离相对较远时， 我们就需要考虑地球的曲率了.下面将介绍如何计算球面两点之间的距离。
球面模型
真实的地球是椭球体， 考虑地球的曲率会增加计算的复杂度。 在大多数情况下， 我们可以将地球简化为球体， 得到如下图所示的几何模型。
其中，
计算任意两点间的距离
要在球面上精确锁定
从几何模型来看，这段距离本质上是球心角
具体的求解思路如下：
三维坐标转换：先通过经纬度将
可得AB两点之间的直线距离为
代入原公式
代入后得到
提取
括号内的部分可以被替换为经度差的余弦：
最终公式
这个公式就是著名的球面余弦定律 (Law of Cosines)。化简后的形式逻辑清晰，运算量从推导过程中的 9 次三角函数精简到了 6 次，非常适合嵌入式 MCU 运行。
踩坑笔记：数值稳定性的陷阱 (Numerical Stability)
虽然这个公式在数学上严丝合缝，但在计算机的浮点运算世界里，它存在一个致命的“短板”：两点距离极近（如小于几十米）时，精度会产生剧烈波动甚至完全失效。
究其原因，这主要源于计算机处理数字的物理局限：
- 有效精度被“挤”出去了：当 A、B 两点靠得非常近时，球心角
趋于 ，此时 的值会无限趋近于 。由于双精度浮点数 ( double) 的精度上限仅有 15-17 位，用“1”去承载一个极其微小的偏移量时，代表精确偏移量的最后几位有效数字会被直接截断。- 反余弦函数的“死亡陡坡”：观察
的图像可以发现（arccos 函数图像），它在 附近的导数趋向无穷大。这意味着在 附近，自变量哪怕只有极其微小的抖动（比如仅仅是最后一位的舍入误差），都会被 函数无限放大，导致计算出的距离在 和一个巨大的错误值之间“反复横跳”。 简而言之，对于需要处理近距离（如几米到几十米）的定位应用，球面余弦定律可能会直接罢工。为了搞定这个坑，我们需要引入基于半角恒等式推导出的 Haversine 公式。
Haversine公式
在介绍Haversine公式之前， 我们先介绍一下正矢函数
如上图所示，versine函数中文叫正矢函数， 定义为
红色线段为
基于高中学过的半角公式
将其两边平方得到
基于高中学过的三角恒等式变形
通过变形，我们可以得到积化和差的形式：
现在回到球面余弦定律的公式
提取其中的公因式
根据弧长公式
则有
此时两边同时被1减去，得到
稍作整理
注意到
根据半正矢函数定义
再次代入弧长公式
经过一系列三角函数变换， 最终得到的这一公式被称为Haversine公式 它解决了球面余弦定律在近距离计算时的数值稳定性问题
下一篇， 我们将介绍如何计算任意两点之间的方位角 (Bearing)